Hasta ahora se han estudiado las curvas circulares a partir de conocer el ángulo que forman las alineaciones y el radio de la curva. Existen algunos casos en los que el radio no es un dato de partida, sino que se debe calcular en función de unas determinadas condiciones geométricas. A continuación se estudia el modo de calcular el radio de la curva en los siguientes casos:

- Curva que pasa por tres puntos.

- Curva tangente a tres rectas.

- Curva tangente a dos rectas y que pasa por un punto.

- Curva tangente a una recta y que pasa por dos puntos.

CURVA QUE PASA POR TRES PUNTOS.

El centro se encuentra en la intersección de las mediatrices de los tres segmentos que se forman al unir los puntos. Para deducir el valor del radio, nos fijamos en el triángulo ABO. El ángulo C marcado en la figura es un ángulo inscrito que abarca el arco AB, y por tanto su valor es la mitad que el central (ángulo en O del triángulo ABO). Resolviendo el triángulo ABO obtenemos el valor del radio. Vemos dos formas de resolverlo:

- Aplicando el valor de la cuerda:

- Aplicando el teorema del coseno:

CURVA TANGENTE A TRES RECTAS.

El centro se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos del triángulo que se forma por la intersección de las tres rectas.
A partir de las rectas se pueden hallar las coordenadas de los puntos A, B y C, y losángulos que forman al intersectarse ( Â,Bˆy Ĉ).

Para calcular el radio, resolvemos el triángulo ABO:

- Aplicando el teorema del seno:

En el triángulo AMO (rectángulo en M) se observa:

- Obteniendo el valor del lado AB:

CURVA TANGENTE A DOS RECTAS Y QUE PASA POR UN PUNTO.

Dadas las rectas r1 y r2 y el punto P, hallar el radio de la curva tangente a las dos rectas y que pasa por el punto P:

En la figura puede observarse que existen dos curvas que cumplen con las condiciones requeridas: la que tiene su centro en O1 y la que lo tiene en O2. Para calcular el radio, el primer paso es calcular las coordenadas de la intersección de las dos rectas (coordenadas de V). Además se calcula el ángulo Vˆ que forman las alineaciones, que nos permite determinar el ángulo en el centro: α = 200 - Vˆ

Para calcular el radio, se resuelve el triángulo OPV, en el que se aplica el teorema del coseno:

En el triángulo OVM (rectángulo en M) se deduce el valor de OV:

Sustituyendo este valor en la expresión (*) se obtiene:

Resolviendo esa ecuación de segundo grado se obtienen los valores del radio, que son los correspondientes a las dos soluciones de la figura inicial.

CURVA TANGENTE A UNA RECTA Y QUE PASA POR DOS PUNTOS.

Sea la recta r1 y los puntos A y B. La curva que es tangente a esa recta y que pasa por los puntos es:

Con la recta r1 y las coordenadas de A y B, se puede hallar la intersección de r1 y la recta AB (coordenadas de V). Así podremos obtener la distancia desde V hasta A y hasta B.

Aplicamos la expresión de la potencia de V respecto de la circunferencia:

En el triángulo VMA, aplicamos el teorema del coseno:

En ese mismo triángulo se aplica el teorema del seno:

En el triángulo MAO, el lado MA es una cuerda, y el ángulo en el centro es el doble del ángulo ε. Aplicando el valor de la cuerda, tenemos:

(se calcula el radio de la curva que cumple las condiciones impuestas inicialmente).